Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat

a. Bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir

Bilangan 25 adalah bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir.

Himpunan bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir adalah 25, 225, 625, 1225, 2025. Untuk mendapatkan bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir, perhatikan pola berikut:

	5 x 5 = 25
	15 x 15	=	1 x 2	25	=	225
	25 x 25	=	2 x 3	25	=	625
	35 x 35	=	3 x 4	25	=	1.225
	45 x 45	=	4 x 5	25	=	2.025
	55 x 55	=	5 x 6	25	=	3.025
	65 x 65	=	6 x 7	25	=	4.225
	75 x 75	=	7 x 8	25	=	5.625
	85 x 85	=	8 x 9	25	=	7.225
	95 x 95	=	9 x 10	25	=	9.025

b. Akar kuadrat

Menarik akar dari suatu bilangan kuadrat sempurna dijelaskan sebagai berikut:

Bilangan 225 disebut bilangan kuadrat sempurna, karena 225 = 15² dan √225 = 15.

Untuk mendapatkan akar dari suatu bilangan kuadrat sempurna, perhatikan pola berikut:

semua bilangan dengan angka 0, 1, 4, 5, 6, 9, sebagai angka terakhir akan mempunyai akar kuadrat dengan angka yang di bawahnya sebagai angka terakhir.

	Angka terakhir Bilangan yang mau dicari akarnya		Angka terakhir hasil akar
	0		0
	1		1 dan 9
	4		2 dan 8
	5		5
	6		4 dan 6
	9		3 dan 7

Contoh:

	√3969	=	...?
			bilangan 3969 memiliki angka terakhir “9”
			Maka akar kuadratnya memiliki angka terakhir 3 dan 7
			3969 > 3600 = 602 dan
			3969 > 4225 = 652 atau 602 < √3969 < 652
			Karena akar dari 3969 memiliki angka terakhir 3 atau 7, maka akar kuadratnya 63 atau 67, dan yang paling mungkin adalah 63, jadi √3969 = 63
	√2601	=	...?
			Bilangan 2601 memiliki angka terakhir “1”
			502 = 2500; 552 = 3025;
			50 < √2601 < 55
			Maka:
			Akar kuadratnya memiliki angka terakhir 1 atau 9, maka nilai yang mungkin adalah 51.
			Jadi, √2601 = 51

barisan dan deret matematika

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan

tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan

tertentu. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,

maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya

b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan

tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan

tertentu. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,

maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya

b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut

barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya

b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmatika

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an

a1 = 2 = a

a2 = 5 = 2 + 3 = a + b

a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

an = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

  atau 

dimana:

Un= an = Suku ke-n

a1 = suku pertama

b = beda antar suku

n = banyaknya suku

Latihan:

1.      Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................

2.      Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku

1.      pertama dan bedanya !

2.      Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-

3.      11 = 23

Penyelesaian:

1.    Diketahui : a1= 3 ; b= 7-3 = 11-7= 4 ; n= 10

Ditanyakan : U10?

Jawab: U10= a1 + (10-1) b

U10= 3 + 9x4

U10= 3 + 36 = 40

2.    U3 = 13 ; U16= 78

U16= a +15b = 78

 U3 = a + 2b = 13

ð  13b = 65

ð   b=

ð  b= 5

U3= a + 2b = 13

ð  a+2x5 = 13

ð  a+10 = 13

ð  a= 13-10

ð  a = 3

jadi suku pertama dari barisan tersebut adalah 3 dan beda dari barisan tersebut adalah 5

3.    Untuk nomer 3 kerjakan sebagai latihanmu ya ! ^-^

Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Latihan:

1.      Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........

2.      Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !

Penyelesaian:

1.      Diketahui : a= 3 ; b= 7-3=11-7= 4

D10 =  (2.3 + (10-1) 4)

D10 = 5 (6+ 9.4)

D10 = 5.42

D10= 210

2.      Kerjakan sebagai latihan ya ! ^-^

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar²

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar³

an = ar^n-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

            atau

dimana:

Un= an = suku ke- n

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku

Latihan:

1.    Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2 !

2.    Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768

Penyelesaian:

1.    Kerjakan sebagai latihan ya! ^-^

2.     => =
  = 32

ð  r =

ð  r = 2

U4=  = 24

ð  = 24

ð = 24

ð  = 24

ð  =  = 3

U11 =

          =
 = 3 .
 = 3 . 1024 = 3072

Deret Geometri (Deret Ukur)

Latihan:

1.      Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6, 12, 24, ........

2.      Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800

dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5) dan jumlah 5 suku pertama (D5) ?

(kerjakan soal diatas sebagai latihan! ^-^)

kelipatan bilangan tetap, maka disebut

barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya

b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmatika

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an

a1 = 2 = a

a2 = 5 = 2 + 3 = a + b

a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

an = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

  atau 

dimana:

Un= an = Suku ke-n

a1 = suku pertama

b = beda antar suku

n = banyaknya suku

Latihan:

1.      Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................

2.      Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku

1.      pertama dan bedanya !

2.      Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-

3.      11 = 23

Penyelesaian:

1.    Diketahui : a1= 3 ; b= 7-3 = 11-7= 4 ; n= 10

Ditanyakan : U10?

Jawab: U10= a1 + (10-1) b

U10= 3 + 9x4

U10= 3 + 36 = 40

2.    U3 = 13 ; U16= 78

U16= a +15b = 78

 U3 = a + 2b = 13

ð  13b = 65

ð   b=

ð  b= 5

U3= a + 2b = 13

ð  a+2x5 = 13

ð  a+10 = 13

ð  a= 13-10

ð  a = 3

jadi suku pertama dari barisan tersebut adalah 3 dan beda dari barisan tersebut adalah 5

3.    Untuk nomer 3 kerjakan sebagai latihanmu ya ! ^-^

Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Latihan:

1.      Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........

2.      Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !

Penyelesaian:

1.      Diketahui : a= 3 ; b= 7-3=11-7= 4

D10 =  (2.3 + (10-1) 4)

D10 = 5 (6+ 9.4)

D10 = 5.42

D10= 210

2.      Kerjakan sebagai latihan ya ! ^-^

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar²

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar³

an = ar^n-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

            atau

dimana:

Un= an = suku ke- n

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku

Latihan:

1.    Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2 !

2.    Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768

Penyelesaian:

1.    Kerjakan sebagai latihan ya! ^-^

2.     => =
  = 32

ð  r =

ð  r = 2

U4=  = 24

ð  = 24

ð = 24

ð  = 24

ð  =  = 3

U11 =

          =
 = 3 .
 = 3 . 1024 = 3072

Deret Geometri (Deret Ukur)

Latihan:

1.      Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6, 12, 24, ........

2.      Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800

dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5) dan jumlah 5 suku pertama (D5) ?

(kerjakan soal diatas sebagai latihan! ^-^)